変圧器の構造と等価回路,ベクトル図　1st-day

Question.

理想的な単相変圧器を考える。
磁束の最大値: $\Phi_m$ [Wb]
一次巻線巻き数: $N_1$
正弦波電圧の実効値: $V_1$ [V]
周波数: $f$ [Hz]
このとき $\Phi_m$ を求めよ。

Solver.

磁束の時間的変化の平均値 $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ を求める。
磁束は交流電圧に伴って、振幅 $\Phi_m$ の正弦波で変化する。
この平均を出せばよい。
正弦波の平均値は、
$\Phi_{ave} = \frac{2}{\pi} \cdot \Phi_m$
で表される。これは、横軸を角度[rad]でとったときの値である。
これを時間軸で考えたい。
そのために、平均値を使って面積を求めてから、それを時間で割って時間当たりの磁束を出す。
$0～\frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、
面積は、
$\Phi_{ave} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2}{\pi} \Phi_m \cdot \frac{\pi}{2} = \Phi_m$
である。これを時間で割って、単位時間当たりの磁束量を求めると、
この範囲の時間は、 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{f}$ なので、
$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{\Phi_m}{\frac{1}{4f}} = 4f\Phi_m$
となる。

$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=4f\Phi_m$

ファラデーの電磁誘導の法則により、誘導起電力の平均値は、
$V_{ave}=N_1\cdot\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=N_1\cdot4f\Phi_m$
で表される。

実効値電圧は、正弦波波形率が $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ であるため、
$V_1=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\cdot V_{ave}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\cdot 4fN_1\Phi_m$

$\Phi_m$ について解くと、
$\Phi_m=\frac{\sqrt{2}}{2\pi}\cdot\frac{V_1}{fN_1}$ [Wb]
となる。

より簡単な手法で解けることがわかったので更新。
まず、１次側電圧の最大値 $\sqrt{2}V_1$ は、
$\sqrt{2}V_1 = max(-N \frac{d\Phi}{dt})$
である。
$\Phi=\Phi_m sin(\omega t)$
とすれば、
$\sqrt{2}V_1 = max(-N \Phi_m \omega cos(\omega t)) = N \Phi_m \omega$
となり、 $\Phi_m$ の式に直すと、
$\Phi_m = \frac{\sqrt{2}}{2\pi}\frac{V_1}{fN_1}$
よって求められる。

Consideration.

そもそも波形率を知らないと大変。
波形率は、 $\frac{実効値}{平均値}$ で求められる値であり、
正弦波の場合は、1.11。
あとは、誘導起電力を求める式について、
ファラデーの電磁誘導の法則に基づいて、
$誘導起電力 = 巻き数 \times \frac{微小磁束}{微小時間}$
これさえ理解できれば、あとは求められます。

はてな記法のTeXはプレビューの読み込みが長くて、大変...