ベルヌーイの定理 7th-day
Question.
水深Hの壁に穴をあけたとき、飛び出す水の速度の大きさを求めよ。Solver.
水に関するエネルギーの内訳は次のようになっている。力学的エネルギー = 位置エネルギー + 圧力エネルギー + 運動エネルギー
これを、水頭で考える。水頭とは、水の持つエネルギーを高さ(水深)に置き換えたものである。
全水頭 = 位置水頭+圧力水頭+速度水頭
それぞれの水頭について考えていく。
まず、位置水頭は、高さそのままであり、h[m]を位置水頭という。
次に圧力水頭について、
物理で、ニュートンの運動方程式として、以下の式が成り立つことが示されていた。
ここで、質量は、水密度を [ ]、体積をV [ ]とすると、
[kg]
となる。面積をA [ ]、水深をH[m]とすると、
[ ]
なので、
[N]
(g...重力加速度)
となる。
次に圧力を求める。圧力は、
[Pa]
で求められるので、
このHを圧力水頭という。
圧力エネルギーは、位置エネルギーと同様にで考えると、
最後に、速度水頭について考える。
運動エネルギーは、位置エネルギーと等しいものとすると、
[m]
このHを速度水頭という。
以上で、水頭をすべて求めることができた。まとめると、
となる。
先に述べてしまうと、ベルヌーイの定理とは、全水頭は、位置が変わっても一定であるという定理である。
これを証明するために、力学的エネルギーについて考える。
力学的エネルギーは、力学的エネルギー保存則より、すべてのエネルギーの総和は、常に一定であることを示している。
よって、a地点とb地点の力学的エネルギーについて、
が成り立つ。
両辺をmgで割ると、
これは、各水頭の合計が位置が変わっても変わらないことを示している。
また、エネルギー損失を考えると、損失水頭をとすると、
これをベルヌーイの定理という。
問題に戻る。
ベルヌーイの定理を用いる。
位置Aを水の水面付近とし、位置Bを穴をあけた場所とする。
AからBまでの長さをHとする。
圧力は、水面も、穴をあけた部分もどちらも大気に触れる部分であるため、大気圧となり、同じ圧力である。
AからBへと水が流れるので、A地点での速度(初速度)は0である。
Aについて考える。
位置水頭は、H, 圧力水頭は、, 速度水頭は、0である。
Bについて考える。
位置水頭は、0, 圧力水頭は、, 速度水頭は、である。
ベルヌーイの定理を適用すると、
[ ]
となる。
Consideration.
ベルヌーイの定理は、ニュートンの運動方程式・運動エネルギー・位置エネルギー・力学的エネルギー保存則、この知識さえあれば、導くことができる。
単位に気を付けつつ、様々な記号で表す必要がある。
新しい概念としては、「水頭」である。
水頭をエネルギーと同等の位置づけとして考えることができ、式を単純化できる。
今回の問題では、圧力がA地点でもB地点でも同じということに気付けるかが重要な点となる。