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2変数関数の極値問題

次の2変数関数の極値を考えます。

f(x,y) = {(ax+by+c)}^2 \ \ \ \ \ (a, b\neq 0)

まず、x,yそれぞれについての偏微分を計算します。

f_{x} = 2a^2 x + 2aby + 2ac \\
f_{y} = 2abx + 2b^2 y + 2bc \\

x,yどちらの偏微分も0となる(x,y)の組み合わせを探します。
これが停留点であり、極値・最小値・最大値の候補となります。
つまり、

2a^2 x + 2aby + 2ac = 0\\
2abx + 2b^2 y + 2bc = 0\\
を解きます。 a, b \neq 0 であるため、
1つ目の式をaで、2つ目の式をbで割ります。
すると、

ax + by = -c
を満たす(x,y)が解であることが分かります。
 y=k \ \ \ ({}^\forall k \in \mathbb{R})
とすれば、

\left(
\begin{array}{c}
  x \\
  y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
  -\frac{c}{a} \\
  0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
  -\frac{b}{a} \\
  1
\end{array}
\right)
k
となります。

Hessian: H(a,b)=0
となるため、
停留点がどのような点であるかは、近傍点を代入するなどの方法で確かめるしかありません。

先ほど求まった極値の候補を元の関数に代入してみます。すると、

f(x,y) = 0
となります。
したがって、求まった停留点は、全て関数値が0になるということです。
ここで、問題に戻ると、

f(x,y) = {(ax+by+c)}^2 = {(\cdot)}^2 \geq 0
となります。よって、先ほどの極値の候補は、全て最小値であり、0になります。

ちなみに、

{f(x,y) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(a_i x+b_i y+c_i)}^2}
の場合も、展開後に x^2, y^2, xy, x, y で括るだけなので、
停留点が最小値であるということに変わりありません。