2変数関数の極値問題
次の2変数関数の極値を考えます。
まず、x,yそれぞれについての偏微分を計算します。
x,yどちらの偏微分も0となる(x,y)の組み合わせを探します。
これが停留点であり、極値・最小値・最大値の候補となります。
つまり、
を解きます。 であるため、
1つ目の式をaで、2つ目の式をbで割ります。
すると、
を満たす(x,y)が解であることが分かります。
とすれば、
となります。
となるため、
停留点がどのような点であるかは、近傍点を代入するなどの方法で確かめるしかありません。
先ほど求まった極値の候補を元の関数に代入してみます。すると、
となります。
したがって、求まった停留点は、全て関数値が0になるということです。
ここで、問題に戻ると、
となります。よって、先ほどの極値の候補は、全て最小値であり、0になります。
ちなみに、
の場合も、展開後に で括るだけなので、
停留点が最小値であるということに変わりありません。