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三角関数の諸式の証明

数学

三角関数の様々な等式を証明していきます。
(TeX表記を久しぶりに使いたかったからなんていう理由は内緒(￣b￣))


tan(x/2 + π/4) = tanx + 1/cosx

命題: \tan({\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}}) = \tan{x}+\frac{1}{\cos{x}}

証明には、ピタゴラスの定理( (\sin{x})^2+(\cos{x})^2=1)と加法定理しか使いません。
加法定理は、
\left\{ \begin{array}{l} \sin({\alpha+\beta}) = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos({\alpha+\beta}) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \end{array} \right. \\ \beta = \alphaのとき、\\ \left\{ \begin{array}{l} \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \cos{2\alpha} = (\cos{\alpha})^2 - (\sin{\alpha})^2 \end{array} \right. \\
です。
\alpha = \beta のときは、倍角の公式と呼ぶこともあります。
では、証明です。

証明

(左辺) = \frac{\sin({\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}})}{\cos({\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}})} \\ = \frac{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{\pi}{4}}+\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{\pi}{4}}} \\ = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}})}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}})} \\ = \frac{\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}} \\ = \frac{(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}})(\cos{\frac{x}{2}}+\sin{\frac{x}{2}})}{(\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}})(\cos{\frac{x}{2}}+\sin{\frac{x}{2}})} \\ = \frac{(\sin{\frac{x}{2}})^2+(\cos{\frac{x}{2}})^2+2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{(\cos{\frac{x}{2}})^2-(\sin{\frac{x}{2}})^2} \\ = \frac{1+\sin(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})} \\ = \tan{x} + \frac{1}{\cos{x}} = (右辺)

まず、加法定理で展開し、有理化を行い、加法定理の逆やピタゴラスの定理を使うことによって、求めています。
このほかにも図形的解法や二乗して計算する方法もあります。
ただ二乗する方法は符号の問題が絡むので多少ややこしいかもしれません。