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水車の比速度 12th-day

Question.

水車における比速度とは何か。
式を導出せよ。

Solver.

比速度とは、Wikipedia引用すると、

比速度とは、ポンプや発電用水車などのターボ機械の形式を表すために用いられる物理量であり、
機械を相似形で拡大縮小したとき、単位揚程、単位流量を発生するために必要な回転速度である。

水力発電において、比速度とは、
水車の形と運転状態を相似に保って、その大きさを変え、単位落差で単位出力を発生させたとき、
水車が回転すべき回転速度をいう。
簡単に言えば、回転速度の比である。

有効落差H[m], 出力P[kW], 回転速度n[  min^{-1} ]の比速度 n_s [m・kW]は、
 n_s = n \frac{P^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{5}{4}}}
である。
これの導出を以下行う。
力学的エネルギー保存則より、以下の関係が成り立つ。
 \frac{1}{2} m v^2 = mgH
したがって、
 H \propto v^2
回転速度nとvの関係は、単位mで統一すると、
 2 \pi r \cdot t \cdot n = v \cdot t
 v \propto n \cdot r
したがって、
 H \propto {n \cdot r}^2
流量Q[  m^3 / s ]は、
 Q \propto \pi r^2 \cdot v \propto r^2 v \propto r^2 nr \propto nr^3

2つの相似形ランナ・ノズルを考える。
 \frac{Q'}{Q} = (\frac{n'}{n}){(\frac{r'}{r})}^3
 \frac{r'}{r} = {(\frac{n'}{n})}^{- \frac{1}{3}} {(\frac{Q'}{Q})}^{\frac{1}{3}}

(ちなみに"="とできるのは、比を取っているだけだからです。)

 \frac{H'}{H} = {(\frac{n'}{n})}^2 {(\frac{r'}{r})}^2
 \frac{r'}{r} = {(\frac{n'}{n})}^{-1} {(\frac{H'}{H})}^{\frac{1}{2}}

したがって、
 {(\frac{n'}{n})}^{-1} {(\frac{H'}{H})}^{\frac{1}{2}} = {(\frac{n'}{n})}^{- \frac{1}{3}} {(\frac{Q'}{Q})}^{\frac{1}{3}}
整理すると、
 \frac{n'}{n} = {(\frac{H'}{H})}^{\frac{3}{4}} {(\frac{Q'}{Q})}^{- \frac{1}{3}}
 n' \frac{{Q'}^{\frac{1}{2}}}{{H'}^{\frac{3}{4}}} = n \frac{Q^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{3}{4}}} = n_s
これが比速度である。
 P = 9.8QH より、
 Q \propto \frac{P}{H}
したがって、
 n_s = n \times \frac{P^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{5}{4}}}
これで、比速度を導くことができた。

Consideration.

比速度は、速度比であるということを念頭に、
比例を用いて、式をつなげていくと導くことができる。

いったん水力分野中断します。
次回から誘導機分野。